1 de Octubre de 2005
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Bitácora de Juan Ramón Rallo Julián
El incremento marginal no es igual a la derivada
Aplicar las matemáticas a la economía me parece una torpeza terrible. La única función que, como mucho, pueden desarrollar es volver a exponer conclusiones a las que ya hemos llegado verbalmente y, en muchos casos, sólo sirven para oscurecer los conceptos y confundirlos.
Sin embargo, permítanme hacer una excepción. Como sabrán estoy respondiendo a Diego Guerrero, un economista (sic) marxista, y necesito aclarar un concepto que él, pese a ser profesor de economía (o quizá precisamente por serlo), parece haber olvidado.
En algunos artículos -y también en las sus críticas a mis posts que más adelante fiskearé- Diego Guerrero descarta el concepto de utilidad marginal al señalar que es estúpido hacer la derivada de la utilidad: Todo el mundo sabe lo que es la utilidad, como también sabe lo que es el amor o el aburrimiento. Pero igual de absurdo es hablar del "amor marginal" o del "aburrimiento marginal" que de la "utilidad marginal". Sencillamente porque lo de "marginal" alude a la derivada matemática de lo total (es decir, de la variable cuantitativa en términos absolutos a la que se aplique)..
Pues bien, este argumento no es sólo económicamente calamitoso, sino también matemáticamente (en realidad, casi la totalidad de sus argumentos son calamitosos, pero éste denota que ni siquiera conoce la materia corrupta que enseña en la Universidad). Pido disculpas por las matemáticas que vienen a continuación, intentaré hacerlo lo menos aburrido posible.
Veamos, matemáticamente hablamos de "incrementos marginales" haciendo alusión a la variación que se produce en una función cuando se incrementa muy poco una de sus variables (en concreto, cuando se incrementa en una unidad). Dado que, como rápidamente comprobaremos, el cálculo de estos incrementos marginales es lento, los economistas matemáticos suelen aproximarlo a través de la derivada. Se trata de un atajo que en matemáticas resulta intolerable pero que, algunos, creen adecuado en economía. En cualquier caso, quiero destacar que matemáticamente el incremento marginal NO es la derivada (y, por supuesto, económicamente tampoco).
Tenemos la siguiente función: F(x)=x2 + ax + b. Siendo x es una variable y "a" y "b" coeficientes.
Si aplicamos un incremento a la función, su valor tomará la siguiente forma (^x es el incremento de x):
F(x+^x) = (x+^x)2 + a(x+^x) +b.
F(x+^x)=x2 + 2x^x + ^x2 + ax + a^x + b
Si queremos calcular el incremento que ha experimentado la función (lo que para los economistas matemáticos vendría a ser el valor marginal) tendremos que efectuar la diferencia entre F(x+^x)-F(x).
Así: ^F=F(x+^x)-F(x)=[x2 + 2x^x + ^x2 + ax + a^x + b] - [x2 + ax + b]= 2x^x + ^x2 +a^x.
Por tanto, ^F=^x(2x+^x+a)
Bien, trasladándolo a la economía matemática, esto viene a significa que la función de utilidad total (F), experimenta un incremento de ^F cuando la cantidad incrementa en un ^x.
Ahora veamos qué ocurre cuando utilizamos la derivada sobre la función. Matemáticamente podemos expresar la derivada como el límite de [F(x+^x)-F(x)]/^x, cuando ^x tiende a 0. Si esto es así, obtendremos el límite de [^x(2x+^x+a)]/^x, cuando ^x tiende a 0. Por tanto, operando tenemos el límite de 2x+^x+a, cuando ^x tiende a 0. Esto es, la derivada de la función F es igual a 2x+a.
Podemos comparar este resultado con el anterior. Vemos como el incremento marginal de una función NO es igual a su derivada, sino que ésta sólo sirve para aproximarlo en aquellos casos en que el incremento ^x tienda a cero.
Utilicemos ahora un ejemplo numérico para verlo más claro.
F(x)=x2+5x+3
^F=F(x+^x)-F(x)=[x2+2x^x + ^x2 +5x +5^x +3]-[x2+5x+3]=^x(^x+2x+5)
Si decimos que el número de productos (x) es 100 y que se incrementan en una unidsd (^x=1), entonces el incremento de la utilidad total (^F), esto es, lo que algunos llaman utilidad marginal, será de 1(1+200+5)=206.
Si efectuamos la derivada de F, tenemos que F`(x)=2x + 5. Si, como hemos dicho, x=100, la derivada de la utilidad total será F`(100)=200+5=205.
Vemos, por tanto, que la utilidad marginal (206) NO es igual a la derivada de la función de utilidad (205). Ésta última es sólo una aproximación que utilizan los economistas matemáticos para reducir el número de operaciones y facilitar su trabajo.
Yo, lo dejo claro, aborrezco de todo este arsenal. Sin embargo, quería demostrar que la utilidad marginal NO es la derivada de la utilidad y, por tanto, cuando Guerrero usa este argumento para ridiculizar la teoría de la utilidad marginal sólo se está dejando en ridículo a él mismo. Como economista y como matemático.
Sin embargo, permítanme hacer una excepción. Como sabrán estoy respondiendo a Diego Guerrero, un economista (sic) marxista, y necesito aclarar un concepto que él, pese a ser profesor de economía (o quizá precisamente por serlo), parece haber olvidado.
En algunos artículos -y también en las sus críticas a mis posts que más adelante fiskearé- Diego Guerrero descarta el concepto de utilidad marginal al señalar que es estúpido hacer la derivada de la utilidad: Todo el mundo sabe lo que es la utilidad, como también sabe lo que es el amor o el aburrimiento. Pero igual de absurdo es hablar del "amor marginal" o del "aburrimiento marginal" que de la "utilidad marginal". Sencillamente porque lo de "marginal" alude a la derivada matemática de lo total (es decir, de la variable cuantitativa en términos absolutos a la que se aplique)..
Pues bien, este argumento no es sólo económicamente calamitoso, sino también matemáticamente (en realidad, casi la totalidad de sus argumentos son calamitosos, pero éste denota que ni siquiera conoce la materia corrupta que enseña en la Universidad). Pido disculpas por las matemáticas que vienen a continuación, intentaré hacerlo lo menos aburrido posible.
Veamos, matemáticamente hablamos de "incrementos marginales" haciendo alusión a la variación que se produce en una función cuando se incrementa muy poco una de sus variables (en concreto, cuando se incrementa en una unidad). Dado que, como rápidamente comprobaremos, el cálculo de estos incrementos marginales es lento, los economistas matemáticos suelen aproximarlo a través de la derivada. Se trata de un atajo que en matemáticas resulta intolerable pero que, algunos, creen adecuado en economía. En cualquier caso, quiero destacar que matemáticamente el incremento marginal NO es la derivada (y, por supuesto, económicamente tampoco).
Tenemos la siguiente función: F(x)=x2 + ax + b. Siendo x es una variable y "a" y "b" coeficientes.
Si aplicamos un incremento a la función, su valor tomará la siguiente forma (^x es el incremento de x):
F(x+^x) = (x+^x)2 + a(x+^x) +b.
F(x+^x)=x2 + 2x^x + ^x2 + ax + a^x + b
Si queremos calcular el incremento que ha experimentado la función (lo que para los economistas matemáticos vendría a ser el valor marginal) tendremos que efectuar la diferencia entre F(x+^x)-F(x).
Así: ^F=F(x+^x)-F(x)=[x2 + 2x^x + ^x2 + ax + a^x + b] - [x2 + ax + b]= 2x^x + ^x2 +a^x.
Por tanto, ^F=^x(2x+^x+a)
Bien, trasladándolo a la economía matemática, esto viene a significa que la función de utilidad total (F), experimenta un incremento de ^F cuando la cantidad incrementa en un ^x.
Ahora veamos qué ocurre cuando utilizamos la derivada sobre la función. Matemáticamente podemos expresar la derivada como el límite de [F(x+^x)-F(x)]/^x, cuando ^x tiende a 0. Si esto es así, obtendremos el límite de [^x(2x+^x+a)]/^x, cuando ^x tiende a 0. Por tanto, operando tenemos el límite de 2x+^x+a, cuando ^x tiende a 0. Esto es, la derivada de la función F es igual a 2x+a.
Podemos comparar este resultado con el anterior. Vemos como el incremento marginal de una función NO es igual a su derivada, sino que ésta sólo sirve para aproximarlo en aquellos casos en que el incremento ^x tienda a cero.
Utilicemos ahora un ejemplo numérico para verlo más claro.
F(x)=x2+5x+3
^F=F(x+^x)-F(x)=[x2+2x^x + ^x2 +5x +5^x +3]-[x2+5x+3]=^x(^x+2x+5)
Si decimos que el número de productos (x) es 100 y que se incrementan en una unidsd (^x=1), entonces el incremento de la utilidad total (^F), esto es, lo que algunos llaman utilidad marginal, será de 1(1+200+5)=206.
Si efectuamos la derivada de F, tenemos que F`(x)=2x + 5. Si, como hemos dicho, x=100, la derivada de la utilidad total será F`(100)=200+5=205.
Vemos, por tanto, que la utilidad marginal (206) NO es igual a la derivada de la función de utilidad (205). Ésta última es sólo una aproximación que utilizan los economistas matemáticos para reducir el número de operaciones y facilitar su trabajo.
Yo, lo dejo claro, aborrezco de todo este arsenal. Sin embargo, quería demostrar que la utilidad marginal NO es la derivada de la utilidad y, por tanto, cuando Guerrero usa este argumento para ridiculizar la teoría de la utilidad marginal sólo se está dejando en ridículo a él mismo. Como economista y como matemático.
Comentarios
Si señor, tienes razón. Yo, que soy físico, nunca me había parado a pensar eso. Aunque los matemáticos siempre nos han dicho que aplicar la derivada a problemas discretos en los que no hay un contínuo, es una barbaridad. Y muchos sistemas físicos son así.
Mucho mas si lo aplicamos a la utilidad en la que ni siquiera hay una función numérica, ni siquiera sus valores permanecen constantes entre dos unidades de tiempo y además como dices es ordinal.
Mucho mas si lo aplicamos a la utilidad en la que ni siquiera hay una función numérica, ni siquiera sus valores permanecen constantes entre dos unidades de tiempo y además como dices es ordinal.
Hombre, la derivada es una buena aproximacion a la utilidad marginal, porque de hecho, es la "aproximacion de primer orden".
En general la derivada es la mejor aproximacion local a la variacion por unidad.
Si, el economista medio peinsa en "marginal" como "derivada".
Eso se debe al hecho de que el optimo de una funcion se alcanza (con las hipotesis corrrespondientes) cuando la derivada se anula.
Por eso, cada agente trata de estar en el maximo de su funcion de utilidad dadas sus restricciones y por eso, los agentes se posicionan dentro de su espacio de opciones en el punto donde su utilidad no puede mejorarse en ninguna direccion.
En general la derivada es la mejor aproximacion local a la variacion por unidad.
Si, el economista medio peinsa en "marginal" como "derivada".
Eso se debe al hecho de que el optimo de una funcion se alcanza (con las hipotesis corrrespondientes) cuando la derivada se anula.
Por eso, cada agente trata de estar en el maximo de su funcion de utilidad dadas sus restricciones y por eso, los agentes se posicionan dentro de su espacio de opciones en el punto donde su utilidad no puede mejorarse en ninguna direccion.
Por lo demas es cierto que este analisis supone que las decisiones se toman en un espacio continuo, lo que dependiendo del caso puede ser abusivo. Es una hipotesis simplificadora como cualquier otra.
Ahora, claro, tendre que hablar sobre matematicas: que cruz.
El marco general de la Teoria Neoclasica es la Teoria de Juegos. Esa es una teoria estilizada de las decisiones de los agentes racionales cuyos fines estan bien definidos y que interaccionan competitivamente.
¿Tiene sentido usar argumentos de Teoria de Juegos en economia? Si. La gente es racional, por tanto, si tenemos una idea de sus deseos, tambien la tenemos de su accion.
¿Por que utilizar las matematicas? Porque expresan los argumentos marginalistas con precision, de forma irrebatible.
Ademas, al expresar las hipotesis con precision se pueden cambiar, y analizar finamente las consecunicias de diversas politicas y condiciones estructurales.
Y con una Teoria finamente hilvanada, uno puede (aunque aqui se abusa mucho) testar hipotesis y la estabilidad de ciertos argumentos.
En definitiva, las matematicas articulan los argumentos y muestran explicitamente los trade-offs.(Mientras que tu, siempre que llegas a un trade-off, lo ocultas o haces una afirmacion moral no utilitaria)
Yo soy un economista neoclasico, y te garantizo que cada post que publicas, soy capaz de imaginarme las curvas cortandose y percibo de inmediato los pequeños abusos retoricos con que a veces llenas algunas brechas argumentales.
No solo es una cuestion teorica: incluso en aplicaciones nimias, unos percibe facilmente ciertos trade-offs y encuentra soluciones Paretianas que implican una mejora marginal.
El ejemplo mas claro y sencillo de gente que es capaz de argumentar economicamente con una enorme intuicion matematica es Marginal Revolution.
Tyler y Tabarrok no podrian escribir tantos posts sobre tantas cosas sin intuicion matematica (y hacen bastantes bromas con sabor a Teoria de Juegos).
El marco general de la Teoria Neoclasica es la Teoria de Juegos. Esa es una teoria estilizada de las decisiones de los agentes racionales cuyos fines estan bien definidos y que interaccionan competitivamente.
¿Tiene sentido usar argumentos de Teoria de Juegos en economia? Si. La gente es racional, por tanto, si tenemos una idea de sus deseos, tambien la tenemos de su accion.
¿Por que utilizar las matematicas? Porque expresan los argumentos marginalistas con precision, de forma irrebatible.
Ademas, al expresar las hipotesis con precision se pueden cambiar, y analizar finamente las consecunicias de diversas politicas y condiciones estructurales.
Y con una Teoria finamente hilvanada, uno puede (aunque aqui se abusa mucho) testar hipotesis y la estabilidad de ciertos argumentos.
En definitiva, las matematicas articulan los argumentos y muestran explicitamente los trade-offs.(Mientras que tu, siempre que llegas a un trade-off, lo ocultas o haces una afirmacion moral no utilitaria)
Yo soy un economista neoclasico, y te garantizo que cada post que publicas, soy capaz de imaginarme las curvas cortandose y percibo de inmediato los pequeños abusos retoricos con que a veces llenas algunas brechas argumentales.
No solo es una cuestion teorica: incluso en aplicaciones nimias, unos percibe facilmente ciertos trade-offs y encuentra soluciones Paretianas que implican una mejora marginal.
El ejemplo mas claro y sencillo de gente que es capaz de argumentar economicamente con una enorme intuicion matematica es Marginal Revolution.
Tyler y Tabarrok no podrian escribir tantos posts sobre tantas cosas sin intuicion matematica (y hacen bastantes bromas con sabor a Teoria de Juegos).
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